Musik

Inharmonizität

Saiten von Musikinstrumenten entsprechen nicht einer physikalisch idealen Saite, deren Teilschwingungen ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung sind. Die Frequenzen der Teilschwingungen weichen abhängig von der Elastizität der Saite mehr oder weniger von ganzzahligen Verhältnissen ab. Diese Abweichung wird als Inharmonizität bezeichnet. Bei Klaviersaiten ist diese Abweichung besonders ausgeprägt.

Beim Stimmen eines Klaviers wird dem, damit die Töne im Zusammenklang besser zueinander passen, durch Spreizung der Oktaven Rechnung getragen. Die Abweichung der tiefsten und höchsten Töne kann dabei bis zu 30 Cent (Hundertstel eines temperierten Halbtons) betragen. Die gestreckten Oktaven werden, obwohl es sich nicht um reine Oktaven handelt, von unserem Ohr als solche akzeptiert. Die entstehenden Schwebungen beleben den Klang, was als angenehm empfunden wird. Davon abgesehen kommt die Spreizung der Saitenstimmung jedoch auch der Nicht-Linearität der Tonhöhenwahrnehmung entgegen.

Die Inharmonizität verteilt sich im Spektrum so, dass sie nach oben hin zunimmt. Bei einer natürlichen Saite kann z.B. bei einer Abweichung von 1 Cent der durch den 2. Teilton gebildeten Oktave die Frequenz des 15. Teiltons bereits gleichhoch mit dem 16. Teilton eines harmonischen Spektrums sein, was einer Abweichung von mehr als einem Halbton entspricht. Bei digitaler Klangsynthese können wir die Inharmonizität, z.B. mit einfacher additiver Synthese, beliebig aussteuern, etwa mit einer einfachen Formel wie dieser, die von Berechnungen natürlicher Systeme abgeleitet ist.

fn = n · f0 · (1 + β + β^2 + n^2 γ β^2)
wobei
f0 die nominelle Grundfrequenz,
fn die Frequenz des Teiltons,
n die Ordnungszahl des Teiltons,
β der Inharmonizitätsindex,
γ die Koppelung der Abweichung an n.

Die nominelle Grundfrequenz f0 ist ungleich der Frequenz des 1. Teiltons f1. Die wahrgenommene Grundfrequenz ergibt sich für das menschliche Gehör auch aus den Differenzen zwischen den Teiltönen. Durch die Inharmonizität werden diese verschoben, was die Einschätzung der Tonhöhe verunsichern kann.

Für ein Spektrum ähnlich dem der oben erwähnten Klaviersaite würden wir β = 0,014 und γ = 1,25 setzen.

29. Juni 2011 von Kai Yves Linden
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